Вариант 2. 4. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной $z$: $\left(\dfrac{z-2}{2z^2+4z}+\dfrac{z+2}{4z-2z^2}\right):\dfrac{z}{4z^3-16z}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 2. 4. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной $z$:…$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений: $z\ne 0,2,-2$.

Разложим знаменатели: $2z^2+4z=2z(z+2)$, $4z-2z^2=2z(2-z)$, $4z^3-16z=4z(z^2-4)$.

Сложим дроби в скобках:

$\dfrac{z-2}{2z(z+2)}-\dfrac{z+2}{2z(z-2)}=\dfrac{(z-2)^2-(z+2)^2}{2z(z^2-4)}=\dfrac{-8z}{2z(z^2-4)}=\dfrac{-4}{z^2-4}$.

Поскольку $\dfrac{z}{4z^3-16z}=\dfrac{1}{4(z^2-4)}$, получаем

$\dfrac{-4}{z^2-4}:\dfrac{1}{4(z^2-4)}=-16$.

Получено постоянное значение, не зависящее от $z$.

Ответ: значение выражения равно −16.

Вариант 2. 4. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной \(z\): \(\left(\dfrac{z-2}{2z^2+4z}+\dfrac{z+2}{4z-2z^2}\right):\dfrac{z}{4z^3-16z}\).