Вариант 4, Задание 1: Упростите выражение \( (y-4)(y+2)(y-2)^2 \).

Решение:

Сначала упростим выражение \( (y-2)^2 \) и \( (y+2)(y-2) \).

1. \( (y-2)^2 = y^2 - 4y + 4 \).
2. \( (y+2)(y-2) = y^2 - 4 \) (разность квадратов).
3. Теперь перемножим все части: \( (y-4)(y^2 - 4)(y^2 - 4y + 4) \).
4. Умножим \( (y^2 - 4) \) на \( (y^2 - 4y + 4) \): \( y^2(y^2 - 4y + 4) - 4(y^2 - 4y + 4) \)
5. \( y^4 - 4y^3 + 4y^2 - 4y^2 + 16y - 16 \)
6. \( y^4 - 4y^3 + 16y - 16 \).
7. Теперь умножим полученное выражение на \( (y-4) \): \( (y-4)(y^4 - 4y^3 + 16y - 16) \).
8. \( y(y^4 - 4y^3 + 16y - 16) - 4(y^4 - 4y^3 + 16y - 16) \)
9. \( y^5 - 4y^4 + 16y^2 - 16y - 4y^4 + 16y^3 - 64y + 64 \)
10. Приведем подобные слагаемые: \( y^5 + (-4y^4 - 4y^4) + 16y^3 + 16y^2 + (-16y - 64y) + 64 \)
11. \( y^5 - 8y^4 + 16y^3 + 16y^2 - 80y + 64 \).

Ответ: y⁵ - 8y⁴ + 16y³ + 16y² - 80y + 64