Вариант 4, Задание 4: Разложите на множители: а) \( 3x^2y^3 - 3xy^2 + 9x^2y \); б) \( 2x - x^2 + y^2 + 2y \).

Решение:

а) \( 3x^2y^3 - 3xy^2 + 9x^2y \)

1. Вынесем общий множитель \( 3xy \) за скобки: \( 3xy(xy^2 - y + 3x) \).

б) \( 2x - x^2 + y^2 + 2y \)

1. Перегруппируем слагаемые: \( (y^2 + 2y) - (x^2 - 2x) \).
2. Дополним до полных квадратов: \( (y^2 + 2y + 1 - 1) - (x^2 - 2x + 1 - 1) \).
3. \( (y+1)^2 - 1 - ((x-1)^2 - 1) \).
4. \( (y+1)^2 - 1 - (x-1)^2 + 1 \).
5. \( (y+1)^2 - (x-1)^2 \).
6. Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \): \( ((y+1) - (x-1))((y+1) + (x-1)) \).
7. \( (y+1-x+1)(y+1+x-1) \).
8. \( (y-x+2)(y+x) \).

Ответ: а) \( 3xy(xy^2 - y + 3x) \); б) \( (y-x+2)(y+x) \).