Вариант А1, задача 2. В прямоугольном треугольнике катет равен 15 см, а его проекция на гипотенузу 9 см. Найдите гипотенузу, а также синус и косинус угла, образованного этим катетом и гипотенузой.

Пусть \(a\) - катет, равный 15 см, \(a_c\) - его проекция на гипотенузу, равная 9 см, \(c\) - гипотенуза. Из теоремы о пропорциональности отрезков в прямоугольном треугольнике: \(a^2 = c \cdot a_c\). Подставляем известные значения: \(15^2 = c \cdot 9\), откуда \(225 = 9c\). Следовательно, \(c = \frac{225}{9} = 25\). Гипотенуза равна 25 см. Синус угла \(\alpha\) между катетом и гипотенузой: \(\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\). Противолежащий катет можно найти по теореме Пифагора: \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625-225} = \sqrt{400} = 20\). Тогда \(\sin(\alpha) = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0.8\). Косинус угла \(\alpha\): \(\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\). \(\cos(\alpha) = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0.6\). Ответ: гипотенуза равна 25 см, \(\sin(\alpha) = 0.8\), \(\cos(\alpha) = 0.6\).