Вариант А2, задача 3. В прямоугольном треугольнике катет равен b, а противолежащий ему угол — β. Выразите периметр треугольника через b и β.

Пусть катет равен \(b\), противолежащий угол равен \(\beta\), гипотенуза \(c\), и другой катет \(a\). Тогда \(\sin(\beta) = \frac{b}{c}\), откуда \(c = \frac{b}{\sin(\beta)}\). Также, \(\tan(\beta) = \frac{b}{a}\), откуда \(a = \frac{b}{\tan(\beta)} = b \cdot \cot(\beta)\). Периметр треугольника равен сумме всех сторон: \(P = a + b + c\). Подставляем выражения для \(a\) и \(c\) через \(b\) и \(\beta\): \(P = b \cot(\beta) + b + \frac{b}{\sin(\beta)} = b(1 + \cot(\beta) + \frac{1}{\sin(\beta)})\). Ответ: \(P = b(1 + \cot(\beta) + \frac{1}{\sin(\beta)})\).