Вариант А2, задача 2. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу — 9 см. Найдите этот катет, а также синус и косинус угла, образованного этим катетом и гипотенузой.

Пусть \(h\) - высота, проведенная к гипотенузе, равная 12 см, \(a_c\) - проекция одного из катетов на гипотенузу, равная 9 см, \(a\) - сам катет. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, \(h^2 = a_c \cdot b_c\), где \(b_c\) - проекция другого катета на гипотенузу. Тогда \(12^2 = 9 \cdot b_c\), откуда \(144 = 9b_c\). Следовательно, \(b_c = \frac{144}{9} = 16\). Гипотенуза \(c = a_c + b_c = 9 + 16 = 25\). Катет, проекция которого на гипотенузу равна 9, найдем по теореме о пропорциональности отрезков: \(a^2 = c \cdot a_c\), тогда \(a^2 = 25 \cdot 9\), значит \(a = \sqrt{225} = 15\). Синус угла \(\alpha\), образованного катетом \(a\) и гипотенузой: \(\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\). Противолежащий катет можно найти по теореме Пифагора: \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20\), тогда \(\sin(\alpha) = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0.8\). Косинус этого угла: \(\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\), \(\cos(\alpha) = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0.6\). Ответ: катет равен 15 см, \(\sin(\alpha) = 0.8\), \(\cos(\alpha) = 0.6\).