Вариант А1, задача 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c, а острый угол — α. Выразите периметр треугольника через c и α.

Пусть гипотенуза равна \(c\), острый угол равен \(\alpha\), катеты \(a\) и \(b\). Тогда \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\), откуда \(a = c \sin(\alpha)\). Аналогично, \(\cos(\alpha) = \frac{b}{c}\), откуда \(b = c \cos(\alpha)\). Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон, то есть \(P = a + b + c\). Подставляем найденные выражения для \(a\) и \(b\) в формулу периметра: \(P = c \sin(\alpha) + c \cos(\alpha) + c = c(1 + \sin(\alpha) + \cos(\alpha))\). Ответ: \(P = c(1 + \sin(\alpha) + \cos(\alpha))\).