Вариант А1, Задача 3: Хорда, перпендикулярная диаметру, делит его на отрезки 5 см и 45 см. Найдите длину хорды.

Решение:

Пусть хорда \( AB \) перпендикулярна диаметру \( CD \) в точке \( M \). Диаметр \( CD = 5 \text{ см} + 45 \text{ см} = 50 \) см. Радиус окружности \( R = \frac{50}{2} = 25 \) см.

Точка \( M \) делит диаметр на отрезки \( CM = 5 \) см и \( MD = 45 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( AMC \), где \( AC \) — хорда. Или, используем свойство пересекающихся хорд (в данном случае хорда и диаметр). Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Пусть \( AB \) - хорда, \( CD \) - диаметр, \( M \) - точка пересечения. Тогда \( AM \cdot MB = CM \cdot MD \).

Поскольку диаметр перпендикулярен хорде, он делит хорду пополам: \( AM = MB \).

Пусть \( AM = MB = x \). Тогда \( x^2 = CM \cdot MD \).

\[ x^2 = 5 \text{ см} \cdot 45 \text{ см} = 225 \text{ см}^2 \]

\[ x = \sqrt{225} = 15 \) см.

Длина хорды \( AB = AM + MB = x + x = 2x \).

\[ AB = 2 \cdot 15 \text{ см} = 30 \text{ см} \]

Ответ: Длина хорды равна 30 см.