Вариант А2, Задача 3: Хорда длиной 30 см, перпендикулярная диаметру, делит его в отношении 1:9. Найдите диаметр окружности.

Решение:

Пусть хорда \( AB = 30 \) см. Хорда перпендикулярна диаметру \( CD \) в точке \( M \).

Диаметр \( CD \) перпендикулярен хорде \( AB \), значит, он делит хорду пополам: \( AM = MB = \frac{30}{2} = 15 \) см.

Диаметр \( CD \) делится точкой \( M \) в отношении 1:9. Пусть \( CM = x \) и \( MD = 9x \). Тогда диаметр \( CD = x + 9x = 10x \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( AMC \). По теореме Пифагора:

\[ AM^2 + CM^2 = AC^2 \]

В данном случае \( AC \) — не сторона, а радиус, но здесь мы используем свойство пересекающихся хорд. Или, более подходящий способ: используем теорему о хорде, перпендикулярной диаметру.

Квадрат половины хорды равен произведению отрезков диаметра, на которые она делит его:

\[ AM^2 = CM \cdot MD \]

\[ 15^2 = x \cdot 9x \]

\[ 225 = 9x^2 \]

\[ x^2 = \frac{225}{9} = 25 \]

\[ x = \sqrt{25} = 5 \) см.

Тогда отрезки диаметра равны 5 см и \( 9 \times 5 = 45 \) см.

Диаметр окружности равен сумме этих отрезков:

\[ CD = CM + MD = 5 \text{ см} + 45 \text{ см} = 50 \text{ см} \]

Ответ: Диаметр окружности равен 50 см.