Вариант А2, Задача 2: Сумма оснований трапеции равна 36 см. Диагональ трапеции точкой пересечения с другой диагональю делится в отношении 2:7. Найдите основания трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции равны \( a \) и \( b \). По условию \( a + b = 36 \) см.

Диагонали трапеции в точке пересечения делятся пропорционально основаниям. Пусть точка пересечения диагоналей — \( O \). Пусть одна диагональ \( AC \) пересекает другую \( BD \) в точке \( O \). Пусть \( AO : OC = 2:7 \).

Тогда отношение оснований равно отношению отрезков одной из диагоналей:

\[ \frac{a}{b} = \frac{AO}{OC} = \frac{2}{7} \]

Из этого следует, что \( a = \frac{2}{7} b \).

Подставим это в уравнение \( a + b = 36 \):

\[ \frac{2}{7} b + b = 36 \]

\[ \frac{2b + 7b}{7} = 36 \]

\[ \frac{9b}{7} = 36 \]

\[ b = \(\frac{36 \cdot 7}{9}\) = 4 \(\cdot\) 7 = 28 \) см.

Теперь найдем \( a \):

\[ a = 36 - b = 36 - 28 = 8 \) см.

Ответ: Основания трапеции равны 8 см и 28 см.