Вариант А2, Задача 1: Диагональ ромба равна 30 см, а сторона — 17 см. Найдите площадь ромба.

Решение:

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть \( d_1 = 30 \) см — одна диагональ, \( a = 17 \) см — сторона ромба. Пусть \( d_2 \) — вторая диагональ.

Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Гипотенузой каждого такого треугольника является сторона ромба, а катетами — половины диагоналей.

По теореме Пифагора:

\[ \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2 \]

\[ \left(\frac{30}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 17^2 \]

\[ 15^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 17^2 \]

\[ 225 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 289 \]

\[ \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 289 - 225 = 64 \]

\[ \frac{d_2}{2} = \sqrt{64} = 8 \) см.

\[ d_2 = 2 \cdot 8 = 16 \) см.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

\[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 30 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 15 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 240 \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь ромба равна 240 см².