Вариант I, Задача 1: Дано: \(\angle A = \angle B\), CO = 4, DO = 6, AO = 5. Найти: а) OB; б) AC: BD; в) \(S_{AOC} : S_{BOD}\).

**Решение:** а) Рассмотрим треугольники AOC и BOD. Так как \(\angle A = \angle B\) и \(\angle AOC = \angle BOD\) (вертикальные углы), то \(\triangle AOC \sim \triangle BOD\) (по двум углам). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \(\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\) Подставим известные значения: \(\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}\) Решим уравнение относительно BO: \(BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5\) Итак, OB = 7.5. б) \(AC = AO + CO = 5+4 =9\) \(BD = BO + DO = 7.5 +6 = 13.5\) Отношение \(AC:BD = 9:13.5 = 2:3\) в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия \(k = \frac{AO}{BO} = \frac{5}{7.5} = \frac{2}{3}\). Тогда \(\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\). **Ответ:** а) OB = 7.5 б) AC:BD = 2:3 в) \(S_{AOC} : S_{BOD} = 4:9\)