Вариант I, Задача 4*: В трапеции ABCD (AD и BC – основания) диагонали пересекаются в точке O, AD = 12 см, BC = 4 см. Найдите площадь треугольника BOC, если площадь треугольника AOD равна 45 см².

**Решение:** 1. Треугольники BOC и AOD подобны (по двум углам: \(\angle BOC = \angle AOD\) как вертикальные, \(\angle OBC = \angle ODA\) как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD). 2. Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих сторон: \(k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\) 4. Выразим площадь треугольника BOC: \(S_{BOC} = \frac{1}{9} S_{AOD} = \frac{1}{9} \cdot 45 = 5\) **Ответ:** Площадь треугольника BOC равна 5 см².