Вариант II, Задача 1: Дано: PE || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Найти: а) MK; б) PE : NK; в) \(S_{MEP}:S_{MKN}\).

**Решение:** a) Так как PE || NK, то по теореме Фалеса имеем: \(\frac{MP}{PN} = \frac{ME}{EK}\) Известно MP = 8 и MN = 12, значит PN = MN - MP = 12 - 8 = 4. Тогда: \(\frac{8}{4} = \frac{6}{EK}\) \(EK = \frac{6 \cdot 4}{8} = 3\) MK = ME + EK = 6 + 3 = 9. б) Так как PE || NK, то \(\triangle MEP \sim \triangle MKN\) (по двум углам). Значит, отношение соответствующих сторон равно: \(\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\) в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = \left(\frac{ME}{MK}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\) **Ответ:** a) MK = 9 б) PE : NK = 2 : 3 в) \(S_{MEP} : S_{MKN} = 4 : 9\)