Вариант IV, 3. Докажите, что если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.

Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O и AC ⟂ BD. В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = OC.

1. Треугольники AOB и COB прямоугольные, имеют AO = OC и общую сторону OB. Они равны по двум катетам, значит AB = BC.
2. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD.

Значит, все четыре стороны равны, поэтому ABCD — ромб.