Вариант V, 3. В прямоугольной трапеции ABCD (AD ∥ BC, AB ⟂ AD) диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD, ∠D = 30°. Найдите меньшее основание трапеции, если большее основание равно 24 см.

Обозначим меньшее основание BC через x, высоту трапеции AB через h. Разность оснований равна AD − BC = 24 − x.

Из угла D = 30° в прямоугольном треугольнике, образованном высотой и боковой стороной, получаем h = (24 − x) · tan 30° = (24 − x)/√3.

Так как AC ⟂ CD, векторы этих отрезков перпендикулярны. По координатам A(0,0), B(0,h), C(x,h), D(24,0): AC = (x,h), CD = (24 − x,−h). Их скалярное произведение равно нулю:

x(24 − x) − h² = 0.

Подставим h² = (24 − x)²/3. Так как 24 − x > 0, получаем x = (24 − x)/3, откуда 4x = 24 и x = 6.

Ответ: 6 см.