Вычислить: 8) (9\sqrt{5} \sin 2x\), если \(\sin x = -\frac{2}{3}\) и \(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\)

Так как \(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\), то \(x\) лежит в I или IV четверти. Учитывая, что \(\sin x = -\frac{2}{3}\), то \(x\) лежит в IV четверти, где \(\cos x > 0\). Найдем \(\cos x\) используя основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (-\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\). Так как \(\cos x > 0\), то \(\cos x = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\). Используем формулу двойного угла: \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\). Тогда: \(\sin 2x = 2 \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = -\frac{4\sqrt{5}}{9}\). Подставим в исходное выражение: \(9\sqrt{5} \sin 2x = 9\sqrt{5} \cdot (-\frac{4\sqrt{5}}{9}) = -4 \cdot 5 = -20\). Ответ: -20