Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками y = −x² − 6x − 5 и y = −x − 2.

Точки пересечения находятся из уравнения \(-x^2-6x-5=-x-2\), откуда \(x=\frac{-5-\sqrt{13}}{2}\) и \(x=\frac{-5+\sqrt{13}}{2}\). Между точками пересечения парабола расположена выше прямой.

\[S=\int_{\frac{-5-\sqrt{13}}{2}}^{\frac{-5+\sqrt{13}}{2}}(-x^2-5x-3)\,dx.\]

Подынтегральная функция — парабола с ветвями вниз, нулями на концах отрезка и коэффициентом при \(x^2\), равным \(-1\). Интеграл равен кубу расстояния между корнями, делённому на 6. Расстояние между корнями равно \(\sqrt{13}\), поэтому \(S=\frac{(\sqrt{13})^3}{6}=\frac{13\sqrt{13}}{6}\).

Ответ: \(\frac{13\sqrt{13}}{6}\).