Вычислите площади фигур, ограниченных графиками y = 4x², y = x² и y = 4.

Эти три графика ограничивают три конечные области: одну центральную и две симметричные боковые.

Центральная область. График \(y=4\) пересекает \(y=4x^2\) при \(x=\pm1\):

\[S_1=\int_{-1}^{1}(4-4x^2)\,dx=\left[4x-\frac{4x^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{16}{3}.\]

Каждая боковая область. По симметрии достаточно найти площадь слева. На отрезке от \(-2\) до \(-1\) область ограничена графиками \(y=4\) и \(y=x^2\), а от \(-1\) до \(0\) — графиками \(y=4x^2\) и \(y=x^2\):

\[S_2=\int_{-2}^{-1}(4-x^2)\,dx+\int_{-1}^{0}(4x^2-x^2)\,dx=\frac{5}{3}+1=\frac{8}{3}.\]

Правая боковая область имеет такую же площадь.

Ответ: центральная площадь — \(\frac{16}{3}\), каждая боковая — \(\frac{8}{3}\).