Вычислите площади фигур, ограниченных графиками xy = 4, x = 4, y = 4, x = 0 и y = 0.

Прямые образуют квадрат \(0\le x\le4\), \(0\le y\le4\). Гипербола \(y=\frac{4}{x}\) пересекает его верхнюю и правую стороны в точках \((1,4)\) и \((4,1)\), разделяя квадрат на две области.

Площадь области между гиперболой и верхней стороной квадрата:

\[S_1=\int_{1}^{4}\left(4-\frac{4}{x}\right)dx=\left[4x-4\ln x\right]_{1}^{4}=12-4\ln4=12-8\ln2.\]

Площадь всего квадрата равна \(4\cdot4=16\), поэтому площадь второй области:

\[S_2=16-S_1=4+8\ln2.\]

Ответ: \(12-8\ln2\) и \(4+8\ln2\).