10. y = ln(sin(3x))

Для нахождения производной функции $$y = \ln(\sin(3x))$$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

Пусть $$y = \ln(u)$$, где $$u = \sin(3x)$$.

Производная $$y = \ln(u)$$ по $$u$$ равна $$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$$.

Производная $$u = \sin(3x)$$ по $$x$$ равна $$\frac{du}{dx} = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$$.

Тогда, производная функции $$y = \ln(\sin(3x))$$ по $$x$$ равна:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot 3\cos(3x) = \frac{1}{\sin(3x)} \cdot 3\cos(3x) = 3\frac{\cos(3x)}{\sin(3x)} = 3\cot(3x)$$

Ответ: $$y' = 3\cot(3x)$$