5. y= x√x2−1

Для нахождения производной функции $$y = x\sqrt{x^2 - 1}$$ воспользуемся правилом произведения и правилом дифференцирования сложной функции:

$$y' = (uv)' = u'v + uv'$$

Пусть $$u = x$$, тогда $$u' = 1$$.

Пусть $$v = \sqrt{x^2 - 1}$$, тогда $$v' = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$$. (см. решение задания 2)

Тогда, производная функции $$y = x\sqrt{x^2 - 1}$$ по $$x$$ равна:

$$y' = 1 \cdot \sqrt{x^2 - 1} + x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \sqrt{x^2 - 1} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{x^2 - 1 + x^2}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{2x^2 - 1}{\sqrt{x^2 - 1}}$$

Ответ: $$y' = \frac{2x^2 - 1}{\sqrt{x^2 - 1}}$$