Задача 4: Дано: cos B = 1/3, AB = 4 (рис. 7.155). Найти: HK.

На рисунке 7.155 изображен треугольник ABC, CK и AH - высоты. Дано: cos B = 1/3, AB = 4. Требуется найти HK. Так как $$\cos B = \frac{1}{3}$$, то рассмотрим прямоугольный треугольник CBH: \(\cos B = \frac{BH}{BC}\). Из прямоугольного треугольника ACK: \(\cos A = \frac{AK}{AC}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH: \(BH = AB \cos B = 4 * \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник CBK: \(BK = BC \cos B = BC * \frac{1}{3}\), но нам BC не дано. Проведем прямую параллельную AC через точку B, обозначим точку пересечения этой прямой с прямыми CK и AH за E и F соответственно. Получим прямоугольник AEFH, то есть AE = HF и AH = EF, и ∠AEB = ∠BFE = 90. К сожалению, для точного решения задачи нужно больше данных. Однако, если предположить, что треугольник ABC равнобедренный, то AK=BH = 4/3 и CH = CK. AH = BK и HK || AB. Треугольники CHK и CAB подобны. Но недостаточно данных, чтобы определить HK.