Задача 12: Прямая AD, перпендикулярная медиане BM треугольника ABC, делит угол BAC пополам. Найдите сторону AC, если сторона AB равна 3.

Решение: 1. AD перпендикулярна BM и делит угол BAC пополам. Рассмотрим треугольник ABM. Так как AD - биссектриса угла BAM и высота, опущенная на сторону BM, то треугольник ABM является равнобедренным с основанием BM. Следовательно, AB = AM. 2. По условию, AB = 3, значит, AM = 3. 3. BM - медиана, следовательно AM = MC, а значит AC = AM + MC = 2*AM. 4. AC = 2*AM = 2*3 = 6. Ответ: AC = 6.