Задача 2: В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=116°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть AB = x, тогда AC = 2x. Так как ABCD параллелограмм, то AB = CD = x. В треугольнике ACD известны две стороны (AC = 2x, CD = x) и угол между ними (∠ACD = 116°). По теореме косинусов можно найти сторону AD. $AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 * AC * CD * cos(∠ACD)$ $AD^2 = (2x)^2 + x^2 - 2 * 2x * x * cos(116°)$ $AD^2 = 4x^2 + x^2 - 4x^2 * cos(116°)$ $AD^2 = 5x^2 - 4x^2 * cos(116°)$ $AD^2 = x^2(5 - 4 * cos(116°))$ $AD = x * \sqrt{5 - 4 * cos(116°)}$ Так как ABCD параллелограмм, то AD = BC. Рассмотрим треугольник ABC. В нем известны три стороны: AB = x, BC = x * \sqrt{5 - 4 * cos(116°)}, AC = 2x. По теореме косинусов можно найти угол ∠BAC. $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(∠BAC)$ $(x * \sqrt{5 - 4 * cos(116°)})^2 = x^2 + (2x)^2 - 2 * x * 2x * cos(∠BAC)$ $x^2(5 - 4 * cos(116°)) = x^2 + 4x^2 - 4x^2 * cos(∠BAC)$ $5 - 4 * cos(116°) = 1 + 4 - 4 * cos(∠BAC)$ $5 - 4 * cos(116°) = 5 - 4 * cos(∠BAC)$ $-4 * cos(116°) = - 4 * cos(∠BAC)$ $cos(116°) = cos(∠BAC)$ ∠BAC = 116° В параллелограмме противоположные углы равны. Значит, ∠BAD = ∠BCD. ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD ∠ACD = 116° Найдем ∠BCA. В треугольнике ABC угол ∠ABC = 180° - 2 * 116° = -52, что невозможно. В параллелограмме углы при одной стороне составляют в сумме 180 градусов. Следовательно, угол ADC = 180 - ABC. Решение: Так как AC в два раза больше AB, пусть AB=x, тогда AC=2x Рассмотрим треугольник ABC. Пусть угол BAC = α. Тогда по теореме косинусов: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2*AB*AC*cosα$ $BC^2 = x^2 + 4x^2 - 4x^2 cosα$ $BC^2 = 5x^2 - 4x^2 cosα$ Рассмотрим треугольник ACD. Так как ABCD - параллелограмм, BC=AD, AB=CD. AD^2 = BC^2. Пусть угол CAD = β. Тогда угол ACD = 116°. По теореме косинусов: $AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2*AC*CD*cos(116°)$ $AD^2 = 4x^2 + x^2 - 4x^2 cos(116°)$ $AD^2 = 5x^2 - 4x^2 cos(116°)$ То есть AD = BC По свойству параллелограмма углы BAD = BCD ∠BAC + ∠CAD = ∠BCA + ∠ACD α + β = ∠BCA + 116 В треугольнике ACD по теореме синусов $\frac{CD}{sinβ} = \frac{AC}{sin∠ADC}$ $\frac{x}{sinβ} = \frac{2x}{sin∠ADC}$ sin∠ADC = 2sinβ Рассмотрим треугольник ABC $\frac{AB}{sin∠BCA} = \frac{AC}{sin∠ABC}$ $\frac{x}{sin∠BCA} = \frac{2x}{sin∠ABC}$ sin∠ABC = 2sin∠BCA Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей за O. Тогда AO = OC, BO = OD В треугольнике AOB угол AOB обозначим за φ. Тогда угол между диагоналями φ или 180-φ. Нужно найти угол φ. Треугольники AOB и COD равны. Треугольники BOC и AOD равны. Ответ: 68