Задача 1: В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=BC, AD=CD, ∠B=54°, ∠D=118°. Найдите угол А. Ответ дайте в градусах.

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Следовательно, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°. Так как AB=BC и AD=CD, то диагональ AC делит четырехугольник на два равнобедренных треугольника. Углы ∠B и ∠D даны. Найдем угол ∠C. Углы ∠A и ∠C можно выразить через x. Имеем: ∠A + 54° + ∠C + 118° = 360°. ∠A + ∠C = 360° - 54° - 118° = 188°. Пусть ∠A = x, тогда ∠C = 188 - x. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам. Тогда ∠A = (360 - 54 - 118) / 2 = 188/2 = 94 градуса. Поскольку условие AB=BC и AD=CD то углы А и С равны. Но они не могут быть равны при таких углах B и D. По теореме косинусов найдем диагональ АС. Так как AB=BC, AD=CD то четырехугольник является дельтоидом. Значит, диагональ АС является биссектрисой углов А и С. Пусть угол A равен х, тогда угол С равен х. Получаем уравнение: x + 54 + x + 118 = 360. 2x = 360 - 54 - 118 = 188. x = 94. Следовательно, угол А равен 94 градуса. Ответ: 94