Задача 11. Тумба для запрыгивания. Куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро a = 60 см. M — середина A₁D₁. Найдите угол между AM и плоскостью ABCD.

Проекция точки M на плоскость ABCD — середина M₁ отрезка AD: перпендикуляр из M к основанию параллелен ребру AA₁. Поэтому проекция отрезка AM на плоскость — AM₁.

Так как M₁ — середина AD, AM₁ = 30 см. Высота MM₁ равна ребру куба: 60 см. Угол между прямой AM и плоскостью ABCD равен ∠AMM₁? Нет: это угол между прямой и её проекцией, то есть ∠MAM₁.

В прямоугольном треугольнике AMM₁: tan ∠MAM₁ = MM₁ / AM₁ = 60 / 30 = 2. Следовательно, ∠MAM₁ = arctan 2 ≈ 63°26′.

Ответ: arctan 2 ≈ 63°26′.