Задача 7. Короб для мячей (куб). Короб ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Докажите, что диагональ BD₁ перпендикулярна прямой AC.

Пусть ребро куба равно a. Введём координаты: A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0), D₁(0, a, a).

1. Направляющий вектор прямой AC: (a, a, 0).
2. Направляющий вектор прямой BD₁: (−a, a, a).
3. Их скалярное произведение равно −a² + a² + 0 = 0. Значит, прямые перпендикулярны.

Ответ: BD₁ ⟂ AC.