Задача 14. Куб-ориентир. Куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что A₁C ⟂ BD.

В квадрате ABCD диагонали перпендикулярны, поэтому AC ⟂ BD. Кроме того, AA₁ ⟂ плоскости ABCD, следовательно, AA₁ ⟂ BD.

Прямые AC и AA₁ пересекаются и лежат в плоскости ACC₁A₁. Прямая BD перпендикулярна обеим пересекающимся прямым этой плоскости, значит, BD ⟂ плоскости ACC₁A₁. Поскольку A₁C лежит в этой плоскости, BD ⟂ A₁C.

Ответ: A₁C ⟂ BD.