Задача 12. Гимнастическая палка. SA ⟂ α, SA = 1 м. AB = 3 м, AC = 4 м, BC = 5 м, ∠BAC = 90°. Найдите SB, SC и ∠BSC.

Так как SA перпендикулярна плоскости α, треугольники SAB и SAC прямоугольные при A.

1. SB² = SA² + AB² = 1² + 3² = 10, значит, SB = √10 м.
2. SC² = SA² + AC² = 1² + 4² = 17, значит, SC = √17 м.
3. В треугольнике SBC по теореме косинусов: BC² = SB² + SC² − 2·SB·SC·cos ∠BSC. Отсюда cos ∠BSC = (10 + 17 − 25)/(2√10·√17) = 1/√170.

Следовательно, ∠BSC = arccos(1/√170) ≈ 85°36′.

Ответ: SB = √10 м, SC = √17 м, ∠BSC = arccos(1/√170) ≈ 85°36′.