Задача 9. Центр гимнастического мата. Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, O — центр ABCD, O₁ — центр A₁B₁C₁D₁. Боковые рёбра ⟂ основанию. Докажите, что OO₁ ⟂ ABCD.

Боковые рёбра параллелепипеда перпендикулярны плоскости основания ABCD, поэтому они параллельны друг другу и перпендикулярны ABCD.

Параллельный перенос, переводящий основание ABCD в верхнее основание A₁B₁C₁D₁ вдоль боковых рёбер, переводит центр O в центр O₁. Следовательно, OO₁ параллельна боковым рёбрам и тоже перпендикулярна плоскости ABCD.

Ответ: OO₁ ⟂ ABCD.