Задачи. 5. (Принцип Дирихле) Если m кроликов рассажены в n клеток, то а) при m > n хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика, б) хотя бы в одной клетке находится не менее m/n кроликов, в) и хотя бы в одной клетке находится не более m/n кроликов.

Обозначим число кроликов в клетках через \(c_1,c_2,\ldots,c_n\). Тогда \(c_1+c_2+\cdots+c_n=m\).

1. а) Если бы в каждой клетке было не более одного кролика, то кроликов было бы не больше \(n\). Это противоречит условию \(m>n\). Значит, в какой-то клетке больше одного кролика.
2. б) Предположим, что в каждой клетке кроликов меньше, чем \(m/n\). Тогда их общее число было бы меньше \(n\cdot(m/n)=m\), что невозможно. Значит, найдётся клетка, где кроликов не менее \(m/n\).
3. в) Предположим, что в каждой клетке кроликов больше, чем \(m/n\). Тогда общее число было бы больше \(n\cdot(m/n)=m\), что невозможно. Значит, найдётся клетка, где кроликов не более \(m/n\).