Задачи. 7. На Всемирном конгрессе мудрецов звездочёты сидят в ряд напротив алхимиков за большим длинным столом, а во главе стола сидит Самый Почтенный Мудрец. В первый день конгресса оказалось, что напротив каждого алхимика сидит звездочёт с более длинной бородой, чем у него. На второй день алхимики договорились сесть за столом в порядке возрастания длины бороды от конца стола до Самого Почтенного Мудреца. Но и звездочёты договорились между собой сесть в порядке возрастания длиннобородости от конца стола до Самого Почтенного Мудреца. Докажите, что и во второй день напротив каждого алхимика будет сидеть звездочёт с более длинной бородой, чем у него.

1. Пусть на второй день алхимики сидят по возрастанию длины бороды, а длина бороды алхимика на месте \(i\) равна \(a_i\). Длина бороды звездочёта на этом месте обозначена \(z_i\). Тогда оба ряда упорядочены по возрастанию.
2. Предположим, что на некотором месте \(i\) звездочёт не бородатее алхимика: \(z_i\le a_i\).
3. Из-за порядка рассадки первые \(i\) звездочётов имеют бороды не длиннее \(z_i\), а значит, не длиннее \(a_i\). В первый день каждый из этих звездочётов сидел напротив отдельного алхимика, борода которого была строго короче бороды звездочёта. Значит, нашлись бы \(i\) алхимиков с бородами строго короче \(a_i\).
4. Но среди алхимиков, расположенных по возрастанию, перед алхимиком на месте \(i\) может быть не больше \(i-1\) человек с бородой строго короче \(a_i\). Противоречие.

Ответ: во второй день напротив каждого алхимика сидит звездочёт с более длинной бородой.