Задание 28: Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Прямые АВ и СД пересекаются в точке К, ВК=18, DK=9, BC=16. Найдите AD.

По свойству секущихся, проведенных из одной точки к окружности, имеем: $$KB * KA = KC * KD$$ $$KB * (KB + AB) = KD * (KD + DC)$$ $$rac{KB}{KD} = \frac{KC}{KA}$$ Рассмотрим треугольники KBC и KDA. Угол K общий. $$\angle KBC = \angle KDA$$ (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AC). Следовательно, треугольники KBC и KDA подобны по двум углам. Значит, $$\frac{BC}{AD} = \frac{KB}{KD}$$ $$\frac{16}{AD} = \frac{18}{9}$$ $$\frac{16}{AD} = 2$$ $$AD = \frac{16}{2} = 8$$ Ответ: 8