Задание 31: Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 16√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Пусть $$R$$ - радиус описанной окружности, а $$r$$ - радиус вписанной окружности. Известно, что $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$, где $$a$$ - сторона квадрата. Отсюда, $$a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = \frac{2 * 16\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 32$$. Радиус вписанной окружности $$r = \frac{a}{2} = \frac{32}{2} = 16$$. Ответ: 16