Задание 1, вариант 1: Найдите точки экстремума функции (y = x^3 - 18x^2 + 60x + 2)

**Решение:** 1. **Находим первую производную функции:** (y' = 3x^2 - 36x + 60) 2. **Приравниваем первую производную к нулю и решаем уравнение, чтобы найти критические точки:** (3x^2 - 36x + 60 = 0) Делим обе части на 3: (x^2 - 12x + 20 = 0) Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Найдем дискриминант (D): (D = (-12)^2 - 4 cdot 1 cdot 20 = 144 - 80 = 64) Так как (D > 0), уравнение имеет два корня: (x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{64}}{2 cdot 1} = \frac{12 + 8}{2} = 10) (x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{64}}{2 cdot 1} = \frac{12 - 8}{2} = 2) 3. **Находим вторую производную функции:** (y'' = 6x - 36) 4. **Определяем знак второй производной в каждой критической точке, чтобы определить характер экстремума:** Для (x = 10): (y''(10) = 6(10) - 36 = 60 - 36 = 24 > 0). Следовательно, в точке (x = 10) функция имеет локальный минимум. Для (x = 2): (y''(2) = 6(2) - 36 = 12 - 36 = -24 < 0). Следовательно, в точке (x = 2) функция имеет локальный максимум. **Ответ:** Точки экстремума функции: x = 2 (максимум) и x = 10 (минимум).