Задание 2.1. 6. Дан треугольник ABC. На стороне BC расположена точка M так, что |BM| : |MC| = 2. Найти AM, если AB = b, AC = a.

Понимаем условие как отношение \(|BM|:|MC|=2:1\). Тогда точка M делит BC в отношении 2:1, считая от B, и \(\overrightarrow{BM}=\frac23\overrightarrow{BC}\).

По правилу треугольника \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\), а \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\mathbf a-\mathbf b\).

\[\overrightarrow{AM}=\mathbf b+\frac23(\mathbf a-\mathbf b)=\frac13\mathbf b+\frac23\mathbf a.\]

Ответ: \(\overrightarrow{AM}=\frac23\mathbf a+\frac13\mathbf b\).