Задание 22. Постройте график функции: у = { 4x - 5, x < 1, -2.5x + 5, 1 ≤ x ≤ 4, x - 9, x > 4. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Краткое пояснение:

Для построения графика нужно рассмотреть каждую часть функции отдельно на заданных интервалах. Затем определить, при каких значениях $$y=m$$ прямая будет пересекать график в двух точках.

Построение графика:

1. Первая часть: $$y = 4x - 5$$ при $$x < 1$$. Это луч. При $$x=1$$, $$y = 4(1)-5 = -1$$. Точка $$(1, -1)$$ — начало луча (не включена). При $$x=0$$, $$y = -5$$.
2. Вторая часть: $$y = -2.5x + 5$$ при $$1 ≤ x ≤ 4$$. Это отрезок. При $$x=1$$, $$y = -2.5(1)+5 = 2.5$$. Точка $$(1, 2.5)$$ включена. При $$x=4$$, $$y = -2.5(4)+5 = -10+5 = -5$$. Точка $$(4, -5)$$ включена.
3. Третья часть: $$y = x - 9$$ при $$x > 4$$. Это луч. При $$x=4$$, $$y = 4-9 = -5$$. Точка $$(4, -5)$$ — начало луча (не включена). При $$x=5$$, $$y = 5-9 = -4$$.

Определение значений $$m$$:

Прямая $$y=m$$ — это горизонтальная линия. Нам нужно найти такие значения $$m$$, при которых эта линия пересекает график функции ровно в двух точках.

1. Анализ графика: Рассматривая построенный график, видим, что:
   • При $$m > 2.5$$, прямая $$y=m$$ пересекает график в одной точке (только луч $$y = 4x-5$$).
   • При $$m = 2.5$$, прямая пересекает график в одной точке (начало второго отрезка).
   • В интервале $$(-5, 2.5)$$, прямая $$y=m$$ пересекает график в двух точках: один раз на луче $$y=4x-5$$ и один раз на отрезке $$y=-2.5x+5$$.
   • При $$m = -5$$, прямая пересекает график в двух точках: в конце отрезка $$y=-2.5x+5$$ (точка $$(4,-5)$$) и на начале луча $$y=x-9$$ (точка $$(4,-5)$$).
   • При $$m < -5$$, прямая $$y=m$$ пересекает график в одной точке (только луч $$y=x-9$$).
2. Вывод: Прямая $$y=m$$ имеет ровно две общие точки с графиком, когда $$m$$ находится в интервале $$(-5, 2.5)$$.

Ответ: $$-5 < m < 2.5$$