Задание 477: В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка H лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если MH=3 см, HQ=5 см, ∠MNH=30°.

Так как \(MH=3\) см и \(HQ=5\) см, то \(MQ=8\) см. В прямоугольном треугольнике \(MNH\) угол \(MNH=30^\circ\), поэтому сторона, противолежащая углу \(30^\circ\), равна половине гипотенузы: \(MH=\frac12 MN\). Следовательно, \(MN=6\) см.

В этом же треугольнике \(\angle NMH=60^\circ\). Поскольку луч \(MH\) лежит на прямой \(MQ\), угол параллелограмма при вершине \(M\) равен \(60^\circ\). Тогда \(\angle N=\angle Q=120^\circ\), \(\angle M=\angle P=60^\circ\).

Противоположные стороны параллелограмма равны: \(NP=MQ=8\) см, \(PQ=MN=6\) см.

Ответ: \(MN=PQ=6\) см, \(MQ=NP=8\) см; \(\angle M=\angle P=60^\circ\), \(\angle N=\angle Q=120^\circ\).