Задание 479: Из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого AB≠BC и угол A острый, проведены перпендикуляры BK и DM к прямой AC. Докажите, что четырёхугольник BMDK — параллелограмм.

Точки \(K\) и \(M\) лежат на прямой \(AC\), поэтому отрезок \(KM\) является частью прямой \(AC\). По условию \(BK\perp AC\) и \(DM\perp AC\), следовательно, \(BK\parallel DM\).

Докажем равенство \(BK=DM\). Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABK\) и \(CDM\). Имеем \(AB=CD\) как противоположные стороны параллелограмма, а \(\angle BAK=\angle DCM\), поскольку \(AB\parallel CD\) и \(AK,CM\subset AC\). Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и острому углу, поэтому \(BK=DM\).

В четырёхугольнике \(BMDK\) одна пара противоположных сторон \(BK\) и \(DM\) равна и параллельна. Следовательно, \(BMDK\) — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.