Задание 480: На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

Из условий \(AM=CP\) и \(BM=DP\), а также из равенства \(AB=AM+MB\), \(CD=CP+PD\), получаем \(AB=CD\).

Аналогично, из условий \(BN=DQ\) и \(NC=QA\), поскольку \(BC=BN+NC\), \(DA=DQ+QA\), получаем \(BC=DA\).

Следовательно, в четырёхугольнике \(ABCD\) обе пары противоположных сторон равны, значит, \(ABCD\) — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники \(AMQ\) и \(CPN\). В них \(AM=CP\), \(AQ=CN\), а \(\angle MAQ=\angle PCN\), поскольку \(AM\) и \(CP\) лежат на параллельных прямых \(AB\) и \(CD\), а \(AQ\) и \(CN\) — на параллельных прямых \(AD\) и \(BC\). Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \(MQ=PN\).

Аналогично из равенства треугольников \(MBN\) и \(PDQ\) следует \(MN=PQ\). Таким образом, в четырёхугольнике \(MNPQ\) обе пары противоположных сторон равны, следовательно, \(MNPQ\) — параллелограмм.

Следовательно, ABCD и MNPQ — параллелограммы.