Задание 7. Найти KN и KM, если TN-MT=11, KN:KM = 6:5.

Пусть KN = 6x, KM = 5x. Тогда по условию, TN-MT=11. KN^2 = TN * MN = TN (TN+MT). KM^2=MT*MN = MT*(TN+MT). 36x^2=TN*(TN+MT) и 25x^2=MT*(TN+MT). Нужно найти TN и MT. MN^2 = KN^2+KM^2= 36x^2+25x^2=61x^2. MN=sqrt(61)x. С другой стороны KN^2=TN*MN=36x^2. KM^2=MT*MN=25x^2. Из TN-MT=11, TN=MT+11, тогда, 36x^2 = (MT+11) * (MT+11+MT) = (MT+11)(2MT+11). И 25x^2 = MT*(MT+11+MT) = MT(2MT+11). Так как задача не может решиться в таком виде. Нужно посмотреть на условия треугольника. В прямоугольном треугольнике MNK с высотой KT, опущенной из прямого угла K на гипотенузу MN, верно соотношение: KT^2=MT*TN. TN - MT=11. Если KN : KM = 6 : 5, то KN=6x, KM=5x. MN^2 = KN^2+KM^2 = 36x^2+25x^2 = 61x^2. TN+MT=sqrt(61)x. Из системы TN-MT=11 и TN+MT=sqrt(61)x, выразим TN=(sqrt(61)x+11)/2, MT = (sqrt(61)x-11)/2. KN^2=TN*MN, KM^2 = MT*MN, (6x)^2=TN*sqrt(61)x = ((sqrt(61)x+11)/2) * sqrt(61)x, 36x= (61x +11 sqrt(61)). 25x^2 =MT*MN= ((sqrt(61)x-11)/2)*sqrt(61)x. 50x = 61x -11 sqrt(61). Итоговое уравнение получается: 11x = 11sqrt(61), x = sqrt(61). KN = 6 sqrt(61) и KM=5 sqrt(61). Ответ: KN = 6 sqrt(61), KM = 5 sqrt(61)