Задание 8. Найти KN и KM, если ME = EN, KF = 6, MK=3sqrt(5).

Так как ME = EN, то E – середина MN. KF – высота в прямоугольном треугольнике, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе MN. При ME = EN точка E совпадает с точкой F и соответственно KF будет медианой. В таком случае, так как медиана в прямоугольном треугольнике проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, KF=1/2*MN. KF = 6, то MN = 12. MKE прямоугольный треугольник. KE = ME = 6. Из прямоугольного треугольника MKE MK^2 = KE^2 + ME^2, но MK = 3sqrt(5), (3sqrt(5))^2=6^2+6^2, 45=36+36, неверно. По теореме Пифагора в треугольнике MKF: MK^2 = KF^2 + MF^2, (3sqrt(5))^2=6^2+MF^2, 45=36+MF^2, MF^2 = 9, MF=3. так как ME = EN то MN = 2*MF = 2*3=6. Но MN должно быть 12, по той причине, что KF=6 и KF=1/2 MN. Есть противоречия. Из прямоугольного треугольника MKF : MF^2+KF^2 = MK^2. MF=3, KF=6. MKE это прямоугольный треугольник и ME= 3. KF^2 = MF *FN. 36=3*FN, FN=12. MN=MF+FN=3+12=15. KN^2 = 12*15=180. KN=sqrt(180), KM^2 = 3*15=45, KM=sqrt(45). Ответ: KN = sqrt(180), KM = sqrt(45)