617. Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 2 лю – 5, то она увеличится на 1/2. Найдите эту дробь.

Пусть числитель дроби равен x, тогда знаменатель будет x + 2. Исходная дробь имеет вид x / (x + 2).

После увеличения числителя на 7 и знаменателя на 5, новая дробь станет (x + 7) / (x + 2 + 5), и она будет больше исходной на 1/2. Составим уравнение:

\[\frac{x+7}{x+7} - \frac{x}{x+2} = \frac{1}{2}\]

Решим уравнение:

\[\frac{(x+7)(x+2) - x(x+7)}{(x+7)(x+2)} = \frac{1}{2}\] \[\frac{x^2 + 2x + 7x + 14 - x^2 - 7x}{x^2 + 9x + 14} = \frac{1}{2}\] \[\frac{2x + 14}{x^2 + 9x + 14} = \frac{1}{2}\] \[2(2x + 14) = x^2 + 9x + 14\] \[4x + 28 = x^2 + 9x + 14\] \[x^2 + 5x - 14 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

Шаг 1: Вычислим дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-14) = 25 + 56 = 81\]

Шаг 2: Найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7\]

Так как числитель не может быть отрицательным, выбираем x = 2.

Тогда числитель равен 2, а знаменатель равен 2 + 2 = 4.

Ответ: 2/4