№2. Вычислите интеграл: /2 6 dx г) -*/ cos² 2x

• Шаг 1: Преобразуем интеграл

\[\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{6}{cos^2(2x)} dx = 6\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{cos^2(2x)} dx\]

• Шаг 2: Находим первообразную функции f(x) = 1/cos²(2x)

\[F(x) = \int \frac{1}{cos^2(2x)} dx = \frac{1}{2}tan(2x) + C\]

• Шаг 3: Вычисляем определенный интеграл

\[6\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{cos^2(2x)} dx = 6[F(\frac{\pi}{2}) - F(-\frac{\pi}{6})]\]
\[F(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}tan(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}tan(\pi) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0\]
\[F(-\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}tan(2 \cdot -\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}tan(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}(-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[6[F(\frac{\pi}{2}) - F(-\frac{\pi}{6})] = 6[0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})] = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\]