4. Решить систему уравнений log₂x+log₂y=5, B) x-3y=-20

• Шаг 1: Преобразуем первое уравнение

\[log_2{x} + log_2{y} = 5\]
Используем свойство логарифмов: \(log_a{b} + log_a{c} = log_a{bc}\)
\[log_2{xy} = 5\]
Избавляемся от логарифма:
\[xy = 2^5\]
\[xy = 32\]

• Шаг 2: Преобразуем второе уравнение

\[x - 3y = -20\]
\[x = 3y - 20\]

• Шаг 3: Решаем систему уравнений методом подстановки

Подставляем x = 3y - 20 в уравнение xy = 32:
\[(3y - 20)y = 32\]
\[3y^2 - 20y - 32 = 0\]
Решаем квадратное уравнение:
\[D = (-20)^2 - 4(3)(-32) = 400 + 384 = 784\]
\[y_1 = \frac{20 + \sqrt{784}}{2(3)} = \frac{20 + 28}{6} = \frac{48}{6} = 8\]
\[y_2 = \frac{20 - \sqrt{784}}{2(3)} = \frac{20 - 28}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}\]
Поскольку x и y должны быть положительными (из-за логарифмов), выбираем y = 8/3
Теперь найдем x:
\[x = 3y - 20 = 3 \cdot \frac{8}{3} - 20 = 8 - 20 = -12\]

Проверка:

log₂x+log₂y=5
x-3y=-20

Ошибка в вычислениях.

\[3y^2 - 20y - 32 = 0\]
\[D = (-20)^2 - 4(3)(-32) = 400 + 384 = 784\]
\[y_1 = \frac{20 + \sqrt{784}}{2(3)} = \frac{20 + 28}{6} = \frac{48}{6} = 8\]
Найдем х:
\[x=\frac{32}{y}\]
\[x = \frac{32}{8} = 4\]

Тогда:

\[x=4\]
\[y=\frac{8}{3}\]