032.28. Найдите действительные числа $a$ и $b$, для которых верно равенство $\frac{z_1}{z_2}=a\frac{z_2}{z_1}+bz_2z_1$, если: а) $z_1=i, z_2=2$; б) $z_1=1+i, z_2=1-i$; в) $z_1=1+2i, z_2=1-2i$; г) $z_1=1+i, z_2=1+2i$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 032.28. Найдите действительные числа $a$ и $b$, для которых верно равенство $\frac{z_1}{z_2}=a\frac{z_2}{z_1}+bz_2z_1$,…$ Фото задания

032.28. Найдите действительные числа $a$ и $b$, для которых верно равенство $\frac{z_1}{z_2}=a\frac{z_2}{z_1}+bz_2z_1$, если: а) $z_1=i, z_2=2$; б) $z_1=1+i, z_2=1-i$; в) $z_1=1+2i, z_2=1-2i$; г) $z_1=1+i, z_2=1+2i$.

Accepted Answer

Подставляем заданные значения и приравниваем действительные и мнимые части.

а) $\frac{i}{2}=a\frac{2}{i}+2ai?$ Нет: $z_2z_1=2i$, поэтому $\frac{i}{2}= -2ai+2bi$. Равенство мнимых частей даёт $\frac12=-2a+2b$; решений не одно, а бесконечно много: $b=a+\frac14$.
б) $z_1z_2=2$, $\frac{z_1}{z_2}=i$, $\frac{z_2}{z_1}=-i$. Тогда $i=-ai+2b$, откуда $b=0, a=-1$.
в) $z_1z_2=5$, $\frac{z_1}{z_2}=\frac{-3+4i}{5}$, $\frac{z_2}{z_1}=\frac{-3-4i}{5}$. Приравнивание частей даёт $a=-1$, затем $b=-\frac{6}{25}$.
г) $z_1z_2=-1+3i$, $\frac{z_1}{z_2}=\frac{3-i}{5}$, $\frac{z_2}{z_1}=\frac{3+i}{5}$. Мнимые части требуют $-\frac15=\frac a5+3b$, а действительные — $\frac35=\frac{3a}{5}-b$. Решение: $a=\frac{22}{25}, b=-\frac{9}{25}$.

Ответ: а) $b=a+\frac14$, где $a$ — любое действительное число; б) $a=-1, b=0$; в) $a=-1, b=-\frac6{25}$; г) $a=\frac{22}{25}, b=-\frac9{25}$.

032.28. Найдите действительные числа \(a\) и \(b\), для которых верно равенство \(\frac{z_1}{z_2}=a\frac{z_2}{z_1}+bz_2z_1\), если: а) \(z_1=i, z_2=2\); б) \(z_1=1+i, z_2=1-i\); в) \(z_1=1+2i, z_2=1-2i\); г) \(z_1=1+i, z_2=1+2i\).

Ответ: