032.30. а) Докажите, что число $(-b+i\sqrt a)^3+(b-i\sqrt a)^3$ при любых действительных $a>0$ и $b$ является действительным. б) Вычислите $(2+i\sqrt5)^3+(2-i\sqrt5)^3$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 032.30. а) Докажите, что число $(-b+i\sqrt a)^3+(b-i\sqrt a)^3$ при любых действительных $a>0$ и $b$ является…$ Фото задания

032.30. а) Докажите, что число $(-b+i\sqrt a)^3+(b-i\sqrt a)^3$ при любых действительных $a>0$ и $b$ является действительным. б) Вычислите $(2+i\sqrt5)^3+(2-i\sqrt5)^3$.

Accepted Answer

а) Заметим, что $-b+i\sqrt a=-(b-i\sqrt a)$. Поэтому кубы слагаемых равны противоположным числам: $(-b+i\sqrt a)^3=-(b-i\sqrt a)^3$. Их сумма равна нулю, а ноль — действительное число.

б) Для сопряжённых выражений используем формулу $(x+y)^3+(x-y)^3=2x^3+6xy^2$. При $x=2$, $y=i\sqrt5$: $2\cdot2^3+6\cdot2\cdot(i\sqrt5)^2=16-60=-44$.

Ответ: а) сумма равна $0$, следовательно, действительна; б) $-44$.

032.30. а) Докажите, что число \((-b+i\sqrt a)^3+(b-i\sqrt a)^3\) при любых действительных \(a>0\) и \(b\) является действительным. б) Вычислите \((2+i\sqrt5)^3+(2-i\sqrt5)^3\).

Ответ: