032.31. При каких действительных значениях \(a\) число \(z=(2-ai)^3-(3-ai)^2+5+a(1-a^2i)\): а) является действительным; б) является чисто мнимым?

Раскроем выражения по действительным и мнимым частям. Получаем \(\operatorname{Re}z=8-9+5=4\), а мнимая часть равна \(\operatorname{Im}z=-12a+6a+a-a^3=-a^3-5a\). Следовательно, \(z=4-(a^3+5a)i\).

а) Для действительного числа нужна нулевая мнимая часть: \(-a(a^2+5)=0\). Так как \(a^2+5>0\), получаем \(a=0\).

б) Чисто мнимое число должно иметь нулевую действительную часть, но она равна 4 при любом \(a\). Таких действительных значений нет.

Ответ: а) \(a=0\); б) таких значений нет.