04 Решите уравнение \( \frac{3}{x} - \frac{3}{x+4} = 1 \)

Решение:

1. Найдем общий знаменатель для дробей: \( x(x+4) \).
2. Приведем уравнение к общему знаменателю, учитывая, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq -4 \): \( \frac{3(x+4)}{x(x+4)} - \frac{3x}{x(x+4)} = \frac{x(x+4)}{x(x+4)} \).
3. Умножим обе части уравнения на \( x(x+4) \), чтобы избавиться от знаменателя: \( 3(x+4) - 3x = x(x+4) \).
4. Раскроем скобки: \( 3x + 12 - 3x = x^2 + 4x \).
5. Упростим: \( 12 = x^2 + 4x \).
6. Перенесём все члены в одну сторону: \( x^2 + 4x - 12 = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = 4^2 - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64 \).
8. Найдём корни: \( x_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 + 8}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 - 8}{2} = -6 \).
9. Оба корня (2 и -6) не равны 0 и -4, поэтому являются решениями исходного уравнения.

Ответ: \( x = 2 \) и \( x = -6 \).